有限数学示例

${(5 u + 2 v)}^{4}$

解题步骤 1

使用二项式展开定理求每一项。二项式定理表述为 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 。

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(5 u)}^{4 - k} \cdot {(2 v)}^{k}$

解题步骤 2

展开求和公式。

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(5 u)}^{4 - 0} \cdot {(2 v)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(5 u)}^{4 - 1} \cdot {(2 v)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(5 u)}^{4 - 2} \cdot {(2 v)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(5 u)}^{4 - 3} \cdot {(2 v)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(5 u)}^{4 - 4} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 3

化简展开式每一项的指数。

$1 \cdot {(5 u)}^{4} \cdot {(2 v)}^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(5 u)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

${(5 u)}^{4} \cdot {(2 v)}^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.2

对 $5 u$ 运用乘积法则。

$5^{4} u^{4} \cdot {(2 v)}^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.3

对 $5$ 进行 $4$ 次方运算。

$625 u^{4} \cdot {(2 v)}^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.4

对 $2 v$ 运用乘积法则。

$625 u^{4} \cdot (2^{0} v^{0}) + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.5

使用乘法的交换性质重写。

$625 \cdot 2^{0} u^{4} v^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$625 \cdot 1 u^{4} v^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.7

将 $625$ 乘以 $1$ 。

$625 u^{4} v^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.8

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$625 u^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.9

将 $625$ 乘以 $1$ 。

$625 u^{4} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.10

对 $5 u$ 运用乘积法则。

$625 u^{4} + 4 \cdot (5^{3} u^{3}) \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.11

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$625 u^{4} + 4 \cdot (125 u^{3}) \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.12

将 $125$ 乘以 $4$ 。

$625 u^{4} + 500 u^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.13

化简。

$625 u^{4} + 500 u^{3} \cdot (2 v) + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.14

使用乘法的交换性质重写。

$625 u^{4} + 500 \cdot 2 u^{3} v + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.15

将 $500$ 乘以 $2$ 。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.16

对 $5 u$ 运用乘积法则。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 6 \cdot (5^{2} u^{2}) \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.17

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 6 \cdot (25 u^{2}) \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.18

将 $25$ 乘以 $6$ 。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 150 u^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.19

对 $2 v$ 运用乘积法则。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 150 u^{2} \cdot (2^{2} v^{2}) + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.20

使用乘法的交换性质重写。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 150 \cdot 2^{2} u^{2} v^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.21

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 150 \cdot 4 u^{2} v^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.22

将 $150$ 乘以 $4$ 。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.23

化简。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 4 \cdot (5 u) \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.24

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 20 u \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.25

对 $2 v$ 运用乘积法则。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 20 u \cdot (2^{3} v^{3}) + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.26

使用乘法的交换性质重写。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 20 \cdot 2^{3} u v^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.27

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 20 \cdot 8 u v^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.28

将 $20$ 乘以 $8$ 。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.29

将 ${(5 u)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.30

对 $5 u$ 运用乘积法则。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 5^{0} u^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.31

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 1 u^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.32

将 $u^{0}$ 乘以 $1$ 。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + u^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.33

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 1 \cdot {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.34

将 ${(2 v)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + {(2 v)}^{4}$

解题步骤 4.35

对 $2 v$ 运用乘积法则。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 2^{4} v^{4}$

解题步骤 4.36

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 16 v^{4}$

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